1^2-0^2=1 2^2-1^2=3 3^2-2^2=5 4^2-3^2=7 5^2-4^2=9 6^2-5^2=36-25=11 7^2-6^2=49-36=13 8^2-7^2=64-49=15 9^2-8^2=81-64=17 10^2-9^2=100-81=19 20以內(nèi)所有幸福數(shù)的和是 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11) =20+20+20+20+20=100
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我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題其實(shí)挺有意思的，雖然一開(kāi)始沒(méi)太看懂什么叫幸福數(shù)。后來(lái)想明白了，就是一個(gè)數(shù)如果能表示成兩個(gè)相鄰自然數(shù)的平方差，那就是幸福數(shù)。比如說(shuō)5=3?-2?。那我們不妨先從數(shù)學(xué)角度分析一下，假設(shè)這兩個(gè)相鄰自然數(shù)是n和n+1，那它們的平方差就是(n+1)?-n?=2n+1。也就是說(shuō)，所有幸福數(shù)都可以表示為2n+1的形式，也就是所有奇數(shù)。所以我們只需要找出20以內(nèi)的所有奇數(shù)，然后求和就行了。這些數(shù)包括1、3、5、7……一直到19。把這些數(shù)加起來(lái)，就可以得到最終的結(jié)果了
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看這個(gè)問(wèn)題好像是關(guān)于數(shù)列和數(shù)論方面的，我剛開(kāi)始也有點(diǎn)懵。題目中說(shuō)幸福數(shù)是一個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)相鄰自然數(shù)的平方差，例如5=3?-2?。其實(shí)我們可以通過(guò)代數(shù)方式推導(dǎo)一下，假設(shè)這兩個(gè)相鄰自然數(shù)是a和a+1，那么他們的平方差就是(a+1)?-a?=2a+1。這說(shuō)明所有的幸福數(shù)其實(shí)都是奇數(shù)，因?yàn)楸磉_(dá)式是2a+1的形式。接下來(lái)我們只要找到20以內(nèi)所有這樣的數(shù)，然后相加即可。最小的是當(dāng)a=0時(shí)得到1，最大的應(yīng)該是當(dāng)2a+1≤20的時(shí)候，算下來(lái)a最大是9，這時(shí)候得到的是19。于是我們需要把1到19之間的所有奇數(shù)加起來(lái)，就是一個(gè)等差數(shù)列求和的問(wèn)題了
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這個(gè)題看起來(lái)有點(diǎn)挑戰(zhàn)性啊，不過(guò)我覺(jué)得可以慢慢來(lái)。題目是說(shuō)幸福數(shù)是可以寫成兩個(gè)相鄰自然數(shù)平方差的數(shù)，比如5=3?-2?。那我們要找的是20以內(nèi)的所有這樣的數(shù)，然后求和。首先我們可以從數(shù)學(xué)公式入手，設(shè)這兩個(gè)相鄰自然數(shù)是n和n+1，那么它們的平方差就是(n+1)?-n?=2n+1。所以所有的幸福數(shù)其實(shí)都是形如2n+1的奇數(shù)，而且這個(gè)結(jié)果必須小于等于20。這樣的話，我們就只需要找出所有滿足條件的奇數(shù)，然后加起來(lái)就可以了。從1開(kāi)始到19的所有奇數(shù)加起來(lái)就是答案了
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