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已知兩圓x^2+y^2-2x-6y-1=0和x^2+y^2-10x-12y+m=0求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長

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lpzum4

m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程為：（x^2+y^2-2x-6y-1）-（x^2+y^2-10x-12y+45）=8x+6y-46 =0 即：4x+3y-23=0 x^2+y^2-2x-6y-1=0 (x-1)^2+(y-3)^2=11 是圓心在(1,3),半徑平方為11的圓圓心（1，3）到公共弦4x+3y-23=0的距離=|4+9-23|/√(3^2+4^2)=2 所以，弦長=2*√（11-2^2)=2√7
baidu_yangrtao

x^2+y^2-2x-6y-1=0

(x-1)^2+(y-3)^2=9

圓心(1,3)

x^2+y^2-10x-12y+m=0

(x-5)^2+(y-6)^2=61-m （m<61)

圓心(5,6)

(1)當兩圓外切時兩圓心的距離等于兩半徑之和

兩圓心的距離d=√[(5-1)^2+(6-3)^2]=5

d=r1+r2即5=3+√(61-m)

解得m=57

(2)當兩圓內切時d=|r1-r2|

即5=|3-√(61-m)|解得m=-3

兩連心線所在的直線斜率=(6-3)/(5-1)=3/4

所以切線斜率k=-4/3

設切線方程為y=(-4/3)x+b即4x+3y-3b=0

圓(x-1)^2+(y-3)^2=9的圓心到直線4x+3y-3b=0的距離為為此圓半徑

3=|4+9-3b|/√(4^2+3^2)

解得b=28/3，b=-2/3(舍）（作圖易發現截距b>0的）

所以公切線方程4x+3y-28=0

不懂問我！！
287826040

1
huaweidong2

圓M方程可改寫為 (x-2)^2+(y-2)^2=(√34/2)^2 說明M的圓心為 O(2，2),半徑r=√34/2。 A點在直線L上，所以當橫坐標x=4，縱坐標=5， AB通過圓心O（2，2）所以AB的斜率k1=(5-2)/(4-2) =3/2 ..........(1) 設AC的斜率k2,AB、AC夾角為45° => tan45=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=1 k2=(-1 ±k1)/(k1 ±1) ................(2) 將k1=3/2代入得 k2=(-1+3/2)/(3/2+1)=(1/2)/(5/2)=1/5 或k2=(-1-3/2)/(3/2-1)=(-5/2)/(1/2)=-5 AC有兩條直線滿足條件，由點斜式可得其方程分別是： y-5=(1/5)(x-4) => x-5y+21=0 y-5=(-5)(x-4) => 5x+y-15=0 求A點橫坐標范圍：設A的橫坐標為a,則A點坐標為(a,9-a)。由于C在圓M上因此AC必須與圓M存在交點。也就是，圓心O至AC的距離必須小于半徑，現在由圓心向AC作垂線，垂足為D，在直角三角形AOD中，由于角OAD=45°，所以OD=AO* √2/2=√[(a-2)^2+(9-a-2)^2]*√2/2≤√34/2 => (a-3)(a-6)≤0 => 3≤a≤6
13198883344

兩圓方程相減得公共弦所在直線方程：8x + 6y - 46 = 0 或 4x + 3y - 23 = 0。
公共弦長為 $ frac{2sqrt{r_1^2 + r_2^2 - d^2}}{2} = sqrt{39} $。

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