∫ x sin2x dx
= ∫ x d(-1/2 cos2x)
= (-1/2)∫ x d(cos2x)
= (-1/2)x cos2x + 1/2 ∫ cos2x dx
= (-1/2)x cos2x + 1/2 1/2 ∫ cos2x d(2x)
= (-1/2)x cos2x + (1/4)sin2x + C
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2011-2-13 22:29 滿意回答 解：∵∫x?cos(4x)dx=x?sin(4x)/4-3/4∫ x?sin(4x)dx (應用分部積分法) =x?sin(4x)/4+3x?cos(4x)/16-3/8∫xcos(4x)dx (同上) =x?sin(4x)/4+3x?cos(4x)/16-3xsin(4x)/32+3/32∫ sin(4x)dx (同上) =x?sin(4x)/4+3x?cos(4x)/16-3xsin(4x)/32-3cos(4x)/128+C1 同理可得∫x?cos(2x)dx=x?sin(2x)/2+3x?cos(2x)/4-3xsin(2x)/4-3cos(2x)/8+C2 ∴∫ x?sin^4(x)dx=∫x?[3/8-cos(2x)/2+cos(4x)/8]dx (應用半角公式) =3/8∫x?dx-1/2∫x?cos(2x)dx+1/8∫x?cos(4x)dx =3x^4/32-1/2[x?sin(2x)/2+3x?cos(2x)/4-3xsin(2x)/4-3cos(2x)/8]+1/8[x?sin(4x)/4+3x?cos(4x)/16-3xsin(4x)/32-3cos(4x)/128]+C (C是積分常數) =3x^4/32+[sin(4x)/32-sin(2x)/4]x?+3[cos(4x)/128-cos(2x)/8]x?+3[sin(2x)/8-sin(4x)/256]x+3[cos(2x)/16-cos(4x)/1024]+C。
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我記得這種含有x乘以三角函數的積分應該是用分部積分來處理的。∫sin2x*xdx可以把u設為x，dv設為sin2xdx，然后按照分部積分公式一步步來。不過中間過程挺繁瑣的，可能要多算幾次導數和積分才能整理出最終結果。如果你不會分部積分的話，建議先復習一下這個方法的基本套路，再試著代入進去一步步計算
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這個不定積分確實有點難度，不能直接用初等函數的方法來解。我覺得應該用分部積分法試試，把x看作一個部分，sin2x當作另一個部分。不過說實話我自己也不是特別確定步驟對不對，好像還要反復積分，最后可能會得到一個關于x和cos2x的表達式。建議你也可以用數學軟件比如Mathematica或者WolframAlpha驗證一下結果，畢竟手動算容易出錯
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∫udv=uv-∫vdu。這里的被積函數是x乘以sin2x，剛好符合分部積分的應用場景。具體操作就是讓u=x，dv=sin2xdx，然后求du和v。中間步驟可能會遇到需要再次積分的情況，所以一定要細心。雖然看起來步驟簡單，但計算的時候很容易算錯符號或者系數，我之前就經常在這上面栽跟頭，建議你慢慢來別著急
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